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By Hartmut Laue

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Ek } = S. Die Behauptung folgt. (2) Sei M die Menge der Rechtsideale S von A, f¨ ur die es ein k ∈ N0 und ein aufsteigend orthogonales k-Tupel primitiver Idempotente e1 , . . , ek ∈ A gibt ˙ · · · ⊕e ˙ k A⊕S, ˙ mit A = e1 A⊕ S = Annρ {e1 , . . , ek }. Indem wir k := 0 setzen, erhalten wir: A ∈ M, also M = ∅. 1 ein minimales Element S ∗ . Wir behaupten, daß S ∗ kein Idempotent = 0A enth¨alt und nehmen das Gegenteil an. 2 ein linksunit¨ares Rechtsideal = {0A } von A. 1) in der Menge der linksunit¨aren Rechtsideale = {0A } von A, die in S ∗ liegen, ein minimales Element R.

Keineswegs nilpotent; das soeben angegebene Beispiel einer nilen, nicht nilpotenten Teilmenge zeigt dies bereits, da 42 man diese als Vereinigungsmenge zweier einelementiger nilpotenter Teilmengen auffassen kann. Ist T einelementig, so fallen die Begriffe zusammen. Ist T ein Teilraum, n ∈ N, so bezeichne T n den additiven Abschluß der Produkte x1 · · · xn mit x1 , . . , xn ∈ T . Gilt T 2 = {0A }, so heißt T eine Zero-Teilalgebra. Besonders wichtige Spezialf¨alle sind (auch einseitige) Zero-Ideale.

2 Sei A assoziativ und R ein Rechtsideal von A. Dann sind die Linkseinsen von R genau die Idempotenten e ∈ R mit R = eA. Insbesondere ist R genau dann linksunit¨ar, wenn es ein Idempotent e ∈ R gibt mit R = eA. Ist n¨amlich e ∈ R idempotent mit R = eA, so gibt es zu jedem x ∈ R ein y ∈ A mit x = ey, also ex = e2 y = ey = x, d. h. e ist Linkseins von R. 3 Ein Idempotent e einer assoziativen Algebra A ist genau dann primitiv, wenn das Rechtsideal eA direkt A-unzerlegbar ist. ˙ Beweis. 1 nicht primitiv.

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Assoziative Algebren by Hartmut Laue


by Richard
4.4

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